核心：用边长为 \(1\) 的正方形代表样本空间 \(\Omega\)，事件的概率可以表示为这个正方形中相应区域的面积。
例如，下图中蓝色区域面积为 \(0.4\)，于是 \(P(A)=0.4\)
其实并没有什么神奇的，只是心中有具体的图案利于理解记忆。
条件概率与乘法公式
如图，蓝色矩形代表事件 \(A\)，红色矩形代表事件 \(B\)，二者重叠区域——紫色矩形代表 \(A\) 和 \(B\) 同时发生，即事件 \(AB\)。（同样，下文“蓝色矩形”指代的是整个事件 \(A\)，即蓝色与紫色区域，而非真正意义上的蓝色；红色同理。）
按照我们对条件概率的预期，在 \(B\) 发生前提下 \(A\) 发生的概率，即 \(P(A|B)\) 应当定义为紫色矩形在整个红色矩形中的占比，即面积比 \(\frac{P(AB)}{P(B)}\)。\(P(B|A)\) 同理，于是
\[ \boxed{\displaylines{ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\\ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} }} \]
永远把条件概率理解为占比。
换个角度，要想表示紫色矩形的面积，可以用红色矩形面积乘面积比 \(P(A|B)\)，或蓝色矩形面积乘面积比 \(P(B|A)\)：
\[ \boxed{P(AB) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)} \]
按照类似地方法，要想展开表示 \(P(ABCD)\)，可以一步步缩小范围：
- 从 \(A\) 的面积出发，乘上面积比 \(P(B|A)\)，得到 \(AB\) 的面积：\(P(A)P(B|A)\)
- 把 \(AB\) 视为一个整体，要想得到 \(ABC\) 的面积，乘上面积比 \(P(C|AB)\)：\(P(A)P(B|A)P(C|AB)\)
- 把 \(ABC\) 视为一个整体，要想得到 \(ABCD\) 的面积，乘上面积比 \(P(D|ABC)\)：\(P(A)P(B|A)P(C|AB)P(D|ABC)\)
故
\[P(ABCD) = P(A)P(B|A)P(C|AB)P(D|ABC)\]
当然以上操作中 \(ABCD\) 顺序可以改变。
全概率公式
如图，蓝色区域表示事件 \(B\)，将正方形分割为多个不重叠的区域 \(A_1,A_2,\ldots\)（以分成 \(3\) 个区域为例），于是 \(B\) 的总面积 = 各区域内 \(B\) 的面积之和。
\(A_1\) 的面积是 \(P(A_1)\)；\(A_1\) 区域内，\(B\) 的占比就是 \(P(B|A_1)\)。所以 \(B\) 在 \(A_1\) 区域内的面积就是 \(P(A_1)P(B|A_1)\)。
于是：
\[\boxed{P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)}\]
贝叶斯公式
在理解条件概率和全概率公式的基础上，贝叶斯公式的形式是很好理解的。
依然使用上一节的图片，简单来说，贝叶斯公式教会我们如何在图中求 \(P(A_1|B)\)，即 \(A_1B\) 区域的面积与整个蓝色区域面积的比值。两个部分的面积我们刚才都表示过了：
\[\boxed{P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)}}\]
如果你想真正理解贝叶斯公式在干什么，强烈建议你看看这两个视频：
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