圆周运动汽车转弯问题引发的深入思考
在公路转弯处，采用外高内低的斜面式弯道，可以使汽车无需大幅减速便能安全通过。这种情境下产生了一类圆周运动的问题。本文将提供一种非常优雅的解法，并讨论更多涉及静摩擦力与支持力的问题，给出一种优雅而高效的分析方法。
写这篇文章时并不知道所述方法已经被前人提出过，后来发现本文实际上是对全反力这一概念的介绍。如果你从未听说这一概念，不必立即搜索，读完本文不仅可以对其建立深刻理解，还可以收获一次到自己“发明”新物理概念的体验。
回顾常见解法
本文全文假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
某处弯道路面倾斜角为\(\theta\)，质量为\(m\)的汽车通过弯道时，可视为以\(r\)为半径做水平面内的圆周运动。
第一问：求汽车不受侧向摩擦力时的行驶速度。
不出现侧向摩擦力时，汽车仅由重力和支持力的合力提供做圆周运动的向心力\(F_a\)，即
\[m\frac{v^2}{r} = mg\tan\theta,\] 解得 \[v = \sqrt{gr\tan\theta}.\]
第二问：若弯道处侧向动摩擦因数为\(\mu\)，求汽车行驶的最大速度。
分析：当车的运动速度越大，所需的向心力就越大，这就要求它受到的摩擦力的方向沿斜坡向下。当速度达到某一值时，所受的摩擦力达到最大静摩擦力\(f_{max}=\mu N\)，此时是即将发生侧滑的临界状态。（如果速度更快，就需要更大的向心力维持当前半径下的圆周运动，但摩擦力无法继续变大导致不能提供更大的向心力）
这样分析或许并未真正说清楚为什么临界状态是\(f=\mu N\)，我们暂时接受这种分析方式，后文会给出更好的做法。
随后按部就班地进行正交分解：
竖直方向合力为\(0\)，即 \[mg+f_{max}\sin\theta = N\cos\theta,\] 水平方向合力提供向心力，即 \[N\sin\theta+f_{max}\cos\theta = m\frac{v_{max}^2}{r},\] 再结合\(f_{max}=\mu N\)，解得向心力 \[m\frac{v_{max}^2}{r} = \frac{\sin\theta+\mu\cos\theta}{\cos\theta-\mu\sin\theta}mg = \frac{\tan\theta+\mu}{1-\mu\tan\theta}mg.\] 也就得到了最大允许速度。
正片开始：优雅地解题
如果你观察了向心力的计算结果，一定会联想到正切的和角公式。将\(\arctan\mu\)记为\(\varphi\)（即角度\(\varphi\)满足\(\tan\varphi=\mu\)），那么向心力可以改写为\(mg\tan(\theta+\varphi)\)。用两个方程经过一堆计算得到的答案竟然这么简单！如何解释这个结果呢？摩擦因数和正切有什么联系？是否意味着这题有更简单的解法呢？
不妨想想“摩擦因数”这个概念的来源：物体所受滑动摩擦力\(f\)和支持力\(N\)垂直，且二者比值\(\frac{f}{N}\)是固定的，于是将这个比值称为滑动摩擦因数，并记作\(\mu\)。\(\mu\)作为直角三角形两直角边的比值，可不就是正切吗！换句话说，【滑动摩擦力和支持力的合力】与【支持力】夹角的正切值就是动摩擦因数\(\mu\)。
对于静摩擦力，【最大静摩擦力和支持力的合力】与【支持力】夹角的正切值就是动摩擦因数\(\mu\)。
事实上，摩擦力和支持力的合力被称为全反力，后文也将使用这一术语。
这个被人们忽略的事实，揭示了向心力为\(mg\tan(\theta+\varphi)\)背后的几何意义。正所谓一图胜千言：
全反力方向与支持力方向相比偏移了\(\varphi\)，那么全反力与竖直方向的夹角就是\(\theta+\varphi\)，处理方式和第一问一样，向心力的大小被唯一确定为\(mg\tan(\theta+\varphi)\)。
将静摩擦力和支持力合在一起处理，效果竟如此显著！那我们不妨仔细研究一下二者合力的特点。
图中黑色虚线表示支持力方向；\(\tan\varphi=\mu\)。
结合前面对全反力与支持力夹角的观察，不难得出以下结论：全反力大小可以任意调整（按需提供），与支持力方向的夹角不能超过\(\varphi\)。（原因：夹角大于\(\varphi\Leftrightarrow f>\mu N\)）
从这个角度来看，摩擦因数\(\mu\)反映了全反力偏移支持力方向的能力，\(\mu\)越大，偏移能力越强。
事实上，如果一开始就利用二者合力处理这道题，不仅能轻松得到答案，还能让分析过程简洁且令人信服。不妨让问题更“复杂”一点，看看新方法的威力。
问题：要想让汽车以\(r\)为半径在水平面内做圆周运动，对汽车行驶的速度范围有什么要求？
需求分析：汽车在水平面内做圆周运动，要求重力和全反力的合力（作为向心力）水平向左。
如图，\(\overrightarrow{OC}\)为重力，根据矢量相加的定义，要使合力水平向左，全反力从\(C\)点出发，终点必须落在蓝色射线上。而全反力的供应能力有限，终点只可能落在红色射线所夹区域内。综合需求和供应能力，终点只能落在线段\(AB\)上。换句话说，全反力与竖直方向的夹角在\(\theta-\varphi\)和\(\theta+\varphi\)之间，于是有 \[mg\tan(\theta-\varphi) \leq m\frac{v^2}{r} \leq mg\tan(\theta+\varphi),\] 即 \[\sqrt{\frac{\tan\theta-\mu}{1+\mu\tan\theta}gr} \leq v \leq \sqrt{\frac{\tan\theta+\mu}{1-\mu\tan\theta}gr}.\]
需要注意的是（结合分析图可以轻松得到）：
- 若\(\varphi\geq\theta\)，即右侧红色射线不再与蓝色射线相交或交于\(O\)点，则对速度没有最小值的要求。
- 若\(\theta+\varphi\geq90^\circ\)，即左侧红色射线不再与蓝色射线相交，则对速度没有最大值的要求。
Bravo !
更多相关例题
接下来用两道题体会这种方法的便利之处。
例 1：斜面上物块静止
（从新视角看旧问题）要想使物体在斜面上不下滑，动摩擦因数\(\mu\)和斜面倾斜角\(\theta\)之间要满足什么关系？
物体静止要求全反力与重力大小相等、方向相反。显然，这要求\(\varphi\geq\theta\)，即\(\mu=\tan\varphi\geq\tan\theta\)。
例 2：涉及摩擦力的竖直方向匀速圆周运动
有一长度为\(l\)轻杆，可在竖直方向绕其端点旋转。杆的另一端固定一托盘（杆旋转过程中托盘始终正面朝上），托盘上放置一质量为\(m\)的物体，与托盘接触面摩擦因数为\(\mu\)。问：要使得杆全程匀速旋转，并且物体与托盘保持相对静止，杆匀速旋转的角速度不能超过多少？（假设物体可视为质点，且与旋转中心的距离为杆长\(l\)）
注意：杆对物体没有作用力，物体仅受重力和托盘对它的全反力。
需求分析：重力和全反力的合力提供向心力。可以看到，物体在不同位置时，需要的向心力方向不同，能提供的最大向心力不同，对速度的最大值要求也就不同。
- 橙色射线被完全夹在全反力供应范围内，因此当向心力需要朝向橙色射线方向时，无论速度多大，都可以提供相应的向心力以维持圆周运动。
- 紫色射线与红色射线交于\(P\)点，此时速度对应的向心力大小不能超过\(\overrightarrow{OP}\)。
类似于一条公路上不同地方有不同的限速，如果被要求全程匀速行驶，速度就不能超过限速最严格的地方。
对限速要求最严格的地方，自然是能提供的向心力最小的地方，即图中蓝色射线表示的情况。此处的向心力 \[m\omega_{max}^2l=mg\sin\varphi,\] 即 \[\omega_{max}=\sqrt{\frac{g}{l}\sin\varphi}=\sqrt{\frac{g}{l}\cdot\frac{\tan\varphi}{\sqrt{1+\tan^2\varphi}}}=\sqrt{\frac{\mu g}{l\sqrt{1+\mu^2}}},\] 也就是杆全程匀速旋转的最大角速度。
优雅(〃∀〃)
总结与启示
仔细想想，将静摩擦力和支持力合并处理是合理且自然的。静摩擦力大小受支持力大小约束，正交分解分开处理两个力就破坏了原本显然的约束关系，使问题难以处理。
或许，简单的结果背后往往有简单的方法。如果经过复杂计算后得出一个异常简单的答案，不妨多花些时间研究题目，毕竟多开拓思路总是有好处的。有时，答案也能提示我们简单解法的来源，就像本文中解决汽车转弯问题的探索过程。
在前面的分析过程中，反复提到了“需求”和“供应能力”两个词。
不仅是涉及静摩擦力或圆周运动的题目，还有许多题目也是如此：给定需求（通常是某个运动状态），询问满足需求的条件。
运动状态的需求，可以转化为受力情况的需求，比如：静止\(\to\)合力为\(0\).
解决这类问题时，一个清晰有效的思路是：首先弄清楚对受力情况的需求，再研究（物理所受）力的供应能力[能否满足/什么情况下能满足]需求。
你可以试着用这个思路回顾一下这些熟悉的问题：
- 水平面上放置一质量为\(m\)的物体，对它施加一个竖直向上的拉力\(F\)，\(F\)满足什么条件时可以将物体提起？
- 一根长为\(l\)细绳拉着某个物体在竖直方向做圆周运动，物体速度要满足什么条件？如果将细绳换成轻杆呢？二者的区别在哪里？
思考题
留下一个习题供读者练习运用本文所述方法。不想写过程的东西全部留作习题！
在倾斜角为\(\theta\)、位置固定的斜面上放置一质量为\(m\)的物体，物体与斜面间的动摩擦因数为\(\mu\)。
- 若\(\mu<\tan\theta\)，要想使物体在斜面上不下滑，可以对物体施加一个垂直于斜面的推力，那么这个推力至少为多大？（提示：正弦定理）；换成水平方向上的推力呢？
- 对物体施加大小恒为\(mg\)、方向任意的外力，要想使物体保持静止，对这个外力的方向有什么要求？
By the way
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圆周运动汽车转弯问题引发的深入思考
